対数掃引とは？試験時間の計算方法も解説

振動試験では試験条件に対数掃引で0.5oct/minなどと書いてあることがある。
この対数掃引の意味と試験時間がどれくらいかかるのかを計算する方法を解説してみる。

対数掃引とは？

対数掃引とは、振動試験などで周波数を変化させる方法のひとつで「掃引速度を$\beta$としたとき、周波数を単位時間あたり×$2^{\beta}$で増加させていく（減少は÷$2^{\beta}$させていく）」というものである。

単位はoct/minで指定されることが多い。
0.5 oct/minは「１分ごとに周波数が$2^{0.5}=\sqrt{2}$倍になる」という意味である。

対数掃引の試験時間は以下の式で計算できる：

$$t=\frac{1}{\beta}\log_{2}\frac{f_2}{f_1}・・・(1)$$

ここで、$t$は試験時間、$\beta$は掃引速度、$f_1$は試験開始時の周波数、$f_2$は試験終了時の周波数である。

たとえば、掃引速度0.5 oct/minで周波数を3Hzから100Hzまで対数掃引で上げるとすると試験時間は

$$t=\frac{1}{0.5}\log_{2}\frac{100}{3} \approx 10.1\,{\rm min}$$

となる。

参考のためにいくつかの$\beta$に対する$t$の計算結果を以下に示す（周波数は$f_1=3\,\rm{Hz},f_2=100\,\rm{Hz}$とする。小数第2位以下は切り捨て）：

式(1)を導出してみる。

「掃引速度$\beta$で周波数を$f_1$から$f_2$まで上げるのに時間$t$だけかかる」ということは「$f_1$に$2^{\beta}$を$t$回掛けると$f_2$になる」ということである。

$$f_1\times\underbrace{2^{\beta} \times 2^{\beta} \times 2^{\beta} \times \cdots \times 2^{\beta}}_{2^{\beta}をt \text{ 回掛ける}}=f_2$$

$$\rightarrow2^{\beta t}=\frac{f_2}{f_1}・・・(2)$$

2を底とする対数を取って$\beta$で割れば

$$t=\frac{1}{\beta}\log_{2}\frac{f_2}{f_1}$$

となる。

最後に式(2)をグラフ化してみる。
比較のために$f_2/f_1=t$もグラフにした。

最初のうちは周波数はあまり上がらないが最後のほうでは急激に上昇していることがわかる。