微分を積分するとなぜ元の関数になるのか？

さて、今回は微分の話です。

微分した関数を積分すると元に戻るのはよく知られていますが、それがなぜなのかを直感的に説明します。

今回もいつも通り直感的な説明になるので厳密ではないですが、それでも微分が何なのかを理解するのには役立つと思うのでぜひ読んでみてください。

前提条件

まず以下のように関数fの微分df/dxはわかっているけど、fそのものはわからないという状況を考えます。

ここからfを求めることを考えます。

まずdf/dxに微小な線素dx（例えば0.1など）を掛けます。
こうすることでdfが求まります。

これをすべての点に関して行います。
そうすると下の左図のように場所ごとにdfが求まります。あとはdxとdfを結ぶ線を引けばfの形状が分かります。

※上の図ではdxとdfをわかりやすくするために長めに描いてありますが、実際は無限小です。

下記の記事も参考になります：

さて関数fを求めることができましたが、ここでひとつ注意点があります。

積分では「関数fの形状はわかるが座標平面上でどこにあるかはわからない」ということです。

この座標平面での位置を表す情報こそ積分定数です。
積分定数の具体的な値が不明の場合はなにかしらの記号（Cなど）で置きます。

今回はここまでです。

微分を積分すると元の関数に戻ることを直感的に説明しました。

直感的ではありますが、専門書を読んでいて微分に出会ったときなどはこのような解釈も役に立つと思うので是非参考にしてください。