エンジニアをやってると積分の入ったを数式を目にすることが多いと思います。
「また積分か・・・」「どういう意味なんだこれは？」と思ってしまうこともしばしば。
この記事では積分の感覚的な理解方法を紹介します。
あくまで感覚的な理解なので厳密ではないですが、それでも積分を理解する上でおおいに役立つのでぜひ最後まで読んでみてください。
積分＝（関数×微小要素）の総和
結論から言うと、この記事で紹介する積分の感覚的な理解方法とは「積分を、関数に微小要素を掛けて足していったものとみなす」というものです。
詳しく解説していきます。
積分を下記のように①と②の2つの部分に分けます：
①積分する関数f(x)に微小要素dxを掛ける
②掛けたものをaからbまで足す
もう少しわかりやすくするために以下の例を見てみましょう。
高校数学で習う、曲線f(x)とx軸で囲まれる部分の面積を求めることを考えます（以下の図）。
この曲線f(x)とx軸で囲まれる部分の面積Sは以下の式で表されることはご存知でしょう：
問題はなぜこれが面積を表すのかです。
この記事で紹介する解釈をすると以下のようになります：
f(x)を高さ、dxを横幅とみなしてf(x)に微小要素dxを掛けることで図の赤で表された長方形の面積を求めているのです。（絵はわかりやすくするためdxの幅を広めにとってあります）
「f(x)は一定じゃない（曲線である）から長方形とはみなせない！」と思う方もいるでしょう。しかしこれは間違いです。
なぜなら微小要素dx上ではf(x)は一定だとみなせるからです。言い換えるとdxとはf(x)が一定だとみなせるほど微小な（無限小）な領域なのです（下の図）。
（左の絵でdxを限りなく小さくしていく様子をイメージするとわかりやすいと思います）
よってdx上ではf(x)は一定と考えていい、すなわち面積はf(x)dxと考えていいということになります。
話を戻します。
あとは積分範囲に沿ってそれぞれの点におけるf(x)dxを足していけばいいだけです（冒頭で紹介した②の部分）。
それが下の図になります：
※ここでもdxの幅は絵をわかりやすくするために広めに描いてあります。実際は無限小だと考えてください。
このようにして場所ごとのf(x)dxを足していくと面積Sになります。
以上、積分の直感的な理解方法でした。
それでは以下で、具体的な物理に出てくる積分を、上で説明した方法で解釈してみましょう。
具体例 アンペールの法則
例としてアンペールの法則を考えてみましょう。
アンペールの法則が意味するのは「ある面を貫く電流はその面の周上で磁界を積分したものに等しい」なので以下のように描けます。
（Hはベクトルなので円周に沿った青色の矢印はまっすぐじゃないとおかしいのですが、直し方がわかりませんでした。ご愛嬌ということで勘弁してください）
ここでiは電流密度ベクトル、Hは磁界ベクトル、Aは任意の面を表します。
ここで上で紹介した方法でアンペールの法則を解釈すると以下のようになります：
微小面積ベクトルdSとその場所でのiの内積を取って領域Aに関して足していくという感じです。
同様に磁界に関しても解釈してみましょう：
線積分に関しても場所ごとに磁界Hと微小線素dlの内積を取って足していけばいいですね。
まとめ
今回はこんな感じです。
積分を直感的に理解できるようになると専門書をよく理解できるようになりますし、読むスピードも上がります。
日々業務に追われて多忙なエンジニアもこのような直感的な理解方法を身に着けて効率的に勉強したいですね。
コメント