この記事では円筒多層コイルの中央での磁束密度の式を導出します。
最後には磁界も導出します。
（といっても磁束密度を透磁率で割るだけですが）
１．式
結論から。
円筒多層コイルの中央のz軸方向の磁束密度Bzは下記です：
以下で詳しく導出していきます。
２．問題設定
下記の図のような円筒多層コイルでz=0、r=0でのz軸方向の磁束密度Bzを求めます。
長さをl、内径をr1、外形をr2とします。
コイルの総巻数をN、電流をIとします。
真空中に置かれたコイルとし、真空の透磁率をμ0とします。
またz軸方向の単位長さあたりの巻数をnz、半径方向の単位長さあたりの巻数をnrとします。
これらより
です。この関係式は後で使用します。
３．導出
以下のようなフローで導出していきます。
一つのリングが作る磁束密度B”zを求める
↓（z方向に積分）
単層の円筒コイルが作る磁束密度B’zを求める
↓（r方向に積分）
多層の円筒コイルが作る磁束密度Bzを求める
３．１ 一つのリングが作る磁束密度B”z
以下の図で一つのリングが作る磁束密度B”のz成分B”zを求めます。
ビオサバールの法則より
z成分は
となります。
３．２ 単層の円筒コイルが作る磁束密度B’z
続いて単層の円筒コイルが作る磁束密度B’zを求めます。
上の図と前節での結果より
途中で置換積分を行っていますが、詳細は省きます。
３．３ 多層の円筒コイルが作る磁束密度Bz
最後に多層の円筒コイルが作る磁束密度のz成分Bzを求めます。
上の図と前節での結果より
こちらも途中で置換積分を行っていますが、詳細は省きます。
またnr*nzを消去する際は2章の式を使いました。
これでBzの導出ができました。
さらに磁界Hzは
となります。
４．まとめ
いかがだったでしょうか。
円筒多層コイルの磁束密度を求めてみました。
エンジニアをやっているとこの式をもとにコイルの中央の磁束密度を見積もったりします。
これくらいの導出はできるようになっておきたいですね。
今回は自分の腕試しも兼ねて導出してみました。
ありがとうございました。
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