断面二次モーメントとは
断面二次モーメント\(I\)は以下の図において以下の式で表されます。
$$I=\int_Ay^2dA$$
断面二次モーメントは断面形状による材料の曲げにくさを表します。
断面の形状のみで決まる値です。
断面係数とは
断面係数\(Z_t, Z_c\)は以下の式で表されます。
$$Z_t=\frac{I}{y_t}$$
$$Z_c=\frac{I}{y_c}$$
断面係数ははりに曲げモーメントを加えた時のはりの伸びにくさ・縮みにくさを表します。
断面係数も断面形状のみで決まる値です。
添え字の\(t,c\)は引っ張り、圧縮を示します。
断面二次モーメントと断面係数を導入する目的
断面二次モーメントと断面係数を導入する目的の一つは強度設計をしやすくすることです。
後でくわしく見ますが、断面二次モーメントと断面係数を導入すると曲げ応力は以下のようになります。
$$\sigma_{max}=\frac{M}{Z_t}$$
\(M\)は材料に加えられている曲げモーメント、\(\sigma_{max}\)ははりの引っ張り応力の最大値です。
よって\(Z_t\)が
$$\sigma_{max}=\frac{M}{Z_t}\leq\frac{\sigma_a}{S}$$
を満たすように断面形状を設計すれば最大応力が許容応力\(\sigma_a\)以下になり、理論上曲げに対して安全に使用することができます。（\(S\)は安全率）
断面二次モーメントの導出
以下の図のようにはりに曲げモーメント\(M\)が加えられ、材料が角度\(\theta\)だけ曲がっているとします。変形は弾性変形で、曲がりの形状は円弧であるとします。
このときはりの中立軸から\(y\)の位置の断面における変形量\(\Delta l\)は、曲がりの形状が円弧であることから
$$\Delta l=\left(\rho+y\right)\theta-l=y\theta$$
となります。（\(\rho\)は曲率半径）
（補足）中立軸とは？
中立軸とは変形しない面のことです。変形しないため、長さは\(l\)です。
曲がり形状は円弧と仮定したため、中立軸の長さは
$$l=\rho \theta$$
となります。
よって断面における曲げ応力\(\sigma\)はフックの法則より
$$\sigma=E\epsilon=E\frac{\Delta l}{l}=\frac{E\theta}{l}y (1)$$
となります。
よってモーメントのつり合いより
$$M=\iint\sigma ydxdy=\iint\frac{E\theta}{l}y^2dxdy=\frac{E\theta}{l}\int_Ay^2dA=\frac{E\theta}{l}I=\frac{\sigma}{y}I (2)$$
となります。（\(x\)軸は奥行き方向とします。）
(2)式は
$$\theta=\frac{Ml}{EI}$$
と書くこともできます。
上の式から\(\theta\)が\(I\)に反比例する、すなわち断面二次モーメントは曲げにくさを表すことがわかります。
断面係数の導出
はりの縁に生じる応力を縁応力といいます。（記号は引っ張りなら\(\sigma_t\)、圧縮なら\(\sigma_c\)）
引っ張り側のはりの縁の座標を\(y=y_t\)とおくと(2)式より
$$M=\frac{\sigma_t}{y_t}I$$
$$\rightarrow\sigma_t=\frac{y_t}{I}M=\frac{M}{Z_t}$$
となります。
また\(\sigma_t=E\epsilon_t\)なので
$$\epsilon_t=\frac{M}{EZ_t}$$
となります。
上の式より\(\epsilon_t\)は\(Z_t\)に反比例する、すなわち\(Z_t\)は伸びにくさを表すことがわかります。
（補足）
断面の形状によっては\(\sigma_t<\sigma_c\)となって\(\sigma_t\)で考えるより\(\sigma_c\)で考えたほうが安全側に寄せられる場合もありますが、この記事では\(\sigma_t\)で考えます。
断面二次モーメントを用いた強度設計の方法
断面の形状が長手方向に沿って同じである場合、縁応力は長手方向に沿って変化しません。
はりに生じる曲げ応力の最大値を\(\sigma_{max}\)とすると(1)式より\(\sigma\)は\(y\)に比例するため、\(y=y_t\)において\(\sigma=\sigma_t=\sigma_{max}\)となります。
よって最大曲げ応力が許容応力以下、つまり
$$\sigma_{max}=\frac{M}{Z_t}\leq\frac{\sigma_a}{S} (3)$$
となるように断面形状を設計すれば、はりの任意の場所の応力は許容応力以下となり、そのはりは曲げに対して理論上安全に使用することができます。
（\(\sigma_a\)は許容応力、\(S\)は安全率です。）
曲げの強度設計の基本的なフローは以下です：
曲げモーメント\(M\)を設定する
↓
許容応力\(\sigma_a\)を設定する
↓
安全率\(S\)を設定する
↓
断面形状を設計する
↓
断面係数\(Z_t\)を求める
↓
\(Z_t\)が(3)式を満たすか確認する。
↓
満たさなければ満たすまで断面形状を設計しなおす
まとめ
断面二次モーメントは断面の形状のみで決まる値です。
断面二次モーメントははりの曲げにくさを表します。
断面係数を導入すると曲げの強度設計ができるようになります。
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