流体力学の教科書に必ずと言っていいほど出てくる壁面せん断応力と圧力勾配の関係式を導出してみました。備忘録として残しておきます。
導出
まず円筒極座標のナビエストークス方程式は以下のようになります：
$$\frac{\partial v_r}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{1}{r}v_{\theta}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}+v_z\frac{\partial v_r}{\partial z}-\frac{1}{r}v_\theta^2=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}+\nu\left(\nabla^2v_r-\frac{v_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}\right)$$
$$\frac{\partial v_\theta}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r}+\frac{1}{r}v_\theta\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}+v_z\frac{\partial v_\theta}{\partial z}+\frac{v_rv_\theta}{r}=-\frac{1}{\rho r}\frac{\partial p}{\partial \theta}+\nu\left(\nabla^2v_\theta+\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}-\frac{v_\theta}{r^2}\right)$$
$$\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_z}{\partial r}+\frac{1}{r}v_\theta\frac{\partial v_z}{\partial \theta}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}+\nu\nabla^2v_z$$
（ただし\(\nabla^2=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)）
複雑な式ですね。単純化するために以下の仮定を置きます：
・定常（\(\frac{\partial}{\partial t}=0\)）
・流れは完全発達している（\(\frac{\partial}{\partial z}=0\)）
・二次元流れである（\(v_r=v_\theta=0\)）
・\(\theta\)方向への変化はない（\(\frac{\partial}{\partial \theta}=0\)）
そうすると以下のようになります：
$$0=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} \tag{1}$$
$$0=-\frac{1}{\rho r}\frac{\partial p}{\partial \theta} \tag{2}$$
$$0=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}+\nu\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial v_z}{\partial r}\right) \tag{3}$$
(1)と(2)より\(p\)は\(r\)と\(\theta\)に依存しないことがわかります。よって
$$\frac{\partial p}{\partial z}=\frac{dp}{dz}$$
となります。また連続の式を考えることにより\(v_z\)は
$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(rv_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0+0+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0$$
\(z\)にも依存しないことがわかります。よって
$$\frac{\partial v_z}{\partial r}=\frac{d v_z}{dr}$$
となります。以上をまとめると(3)は
$$\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dz}=\nu\frac{1}{r}\frac{d}{d r}\left(r\frac{d v_z}{d r}\right)$$
となります。この式をよく見ると\(p\)は\(z\)に依存していて\(vz\)は\(z\)に依存することになりますが、そのためには
$$\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dz}=\nu\frac{1}{r}\frac{d}{d r}\left(r\frac{d v_z}{d r}\right)=\rm{const}$$
とならなければなりません。よって
$$\nu\frac{1}{r}\frac{d}{d r}\left(r\frac{d v_z}{d r}\right)=c_1$$
これを解くと
$$v_z=\frac{c_1}{4\nu}\left(r^2-\frac{D^2}{4}\right)$$
となります。
※境界条件としてすべりなし条件と管中央で\(v_z=0\)を用いました。
ただ管中央で\(v_z=0\)は数学的に正しいのか微妙です・・・
一方、\(\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dz}=c_1\)ですから最終的には
$$v_z=\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}\left(r^2-\frac{D^2}{4}\right)\tag{4}$$
です。（\(\nu=\frac{\mu}{\rho}\)を用いました）
考察
式(4)より以下のことがわかります：
・速度分布が放物線
・流速は主流方向の圧力勾配に比例する
まとめ
久しぶりに流体力学について考えました。
数式の導出は円筒極座標の∇などは教科書を参考にしないとなりませんでした。
なかなかいい腕試しになりました。
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