断面二次極モーメントとは
断面二次極モーメント\(I_p\)は以下の図において以下の式で表されます。
$$I_p=\int_Ar^2dA$$
断面二次極モーメントは断面形状による軸のねじりにくさを表します。
断面の形状のみで決まる値です。
極断面係数とは
極断面係数\(Z_p\)は以下の式で表されます。
$$Z_p=\frac{I_p}{\frac{d}{2}}$$
極断面係数は軸にねじりモーメントを加えた時の軸のねじりにくさを表します。
極断面係数も断面形状のみで決まる値です。
断面二次極モーメントと極断面係数を導入する目的
断面二次極モーメントと極断面係数を導入する目的の一つは強度設計をしやすくすることです。
後でくわしく見ますが、断面二次極モーメントと極断面係数を導入するとせん断応力は以下のようになります。
$$\tau_{max}=\frac{T}{Z_p}$$
\(T\)は軸に加えられているねじりモーメント、\(\tau_{max}\)は軸のせん断応力の最大値です。
よって\(Z_p\)が
$$\tau_{max}=\frac{T}{Z_p}\leq\frac{\tau_a}{S}$$
を満たすように断面形状を設計すれば最大応力が許容応力\(\tau_a\)以下になり、理論上ねじりに対して安全に使用することができます。（\(S\)は安全率）
断面二次極モーメントの導出
以下の図のようにはりにねじりモーメント\(T\)が加えられ、材料が角度\(\phi\)だけねじれているとします。変形は弾性変形であるとします。
断面におけるせん断応力\(\tau\)はフックの法則より
$$\tau=G\gamma=G\frac{\phi}{l}r (1)$$
となります。（\(G\)は横弾性係数）
モーメントのつり合いより
$$T=\iint\tau r\cdot rd\theta dr=\int_A\frac{\phi}{l}r^2GdA=\frac{\tau}{r}\int_Ar^2dA=\frac{\tau}{r}I_p (2)$$
となります。
(2)式は
$$\phi=\frac{Tl}{GI_p}$$
と書くこともできます。
上の式から\(\phi\)が\(I_p\)に反比例する、すなわち断面二次極モーメントはねじりにくさを表すことがわかります。
極断面係数の導出
\(\tau=\frac{G\phi}{l}r\)よりせん断応力は軸の縁で最大になります：
$$\tau_{max}=\frac{G\phi}{l}\frac{d}{2}$$
(2)式より
$$T=\frac{\tau}{r}I_p=\frac{\tau_{max}}{\frac{d}{2}}I_p=\tau_{max}Z_p$$
$$\rightarrow\tau_{max}=\frac{T}{Z_p} (3)$$
となります。
また\(\tau_{max}=G\frac{\phi}{l}\)なので
$$\phi=\frac{Tl}{GZ_p}$$
となります。
上の式より\(\phi\)は\(Z_p\)に反比例する、すなわち\(Z_p\)はねじりにくさを表すことがわかります。
断面二次極モーメントを用いた強度設計の方法
(3)式が許容応力\(\tau_a\)以下であればその軸はねじりに対して理論上安全に使用することができます：
$$\tau_{max}=\frac{T}{Z_p}\leq\frac{\tau_a}{S} (4)$$
\(S\)は安全率です。
ねじりの強度設計の基本的なフローは以下です：
ねじりモーメント\(T\)を設定する
↓
許容応力\(\tau_a\)を設定する
↓
安全率\(S\)を設定する
↓
断面形状を設計する
↓
極断面係数\(Z_p\)を求める
↓
\(Z_p\)が(4)式を満たすか確認する。
↓
満たさなければ満たすまで断面形状を設計しなおす
まとめ
断面二次極モーメントは断面の形状のみで決まる値です。
断面二次極モーメントは軸のねじりにくさを表します。
極断面係数を導入すると曲げの強度設計ができるようになります。
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